阿基米德铺砌中的计数问题

作     者：由久印 

作者单位：河北师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：苑立平

授予年度：2015年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：阿基米德铺砌 格点 中心多边形 Pick–型定理 边界特征 格线段 

摘      要：论文主要利用《数的几何》中的理论和方法对阿基米德铺砌中的一些计数问题进行了研究.第一章研究了圆内阿基米德铺砌顶点数问题.在每一种阿基米德铺砌中,以铺砌的任意顶点为圆心、以r=√n(n∈Z+)为半径的圆C(n)的内部和边界上所含铺砌顶点的个数记为N(n),通过引入中心多边形的概念,得到圆内阿基米德铺砌顶点数的统一公式:limn→∞N(n)n=πs,其中为对应铺砌的中心多边形的面积.第二章首先研究了(3.***.4.3.4)铺砌的Pick–型定理,证明了平行于铺砌边的格线段只有4类,定义了对称格线段.在(3.***.4.3.4)铺砌中,若简单格多边形P的边界或者为平行于铺砌边的格线段,或者为对称格线段,或者满足非对称条件,则格多边形P的面积A(P)=18[(2+√3)b+(4+2√3)i+(2-√3)c+8√3-24],其中b,i,c分别为格多边形P的边界格点数,内部格点数和边界特征.随后用类似的方法研究了其它阿基米德双铺砌和三铺砌的Pick–型定理,并且得到一个关于全部11种阿基米德铺砌统一的Pick–型公式,即若简单格多边形P满足相应的Pick–型定理条件,P的边界特征等于铺砌顶点度的2倍且的邻接特征e=0,则格多边形P的面积A(P)=S·(b2+i-1),其中b和i分别为格多边形P的边界格点数和内部格点数,S为对应铺砌的中心多边形的面积.第三章首次研究了非阿基米德铺砌(3.***.6.6;3.***.3.6)的Pick–型定理,得到其Pick–型公式为A(P)=√324(8b + 16i + c- 24).