加权和条件下的B-C引理及其在测度空间上的应用

作     者：张园园 

作者单位：安徽大学 

学位级别：硕士

导师姓名：胡舒合

授予年度：2010年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：Borel-cantelli引理 可测集 测度空间 加权和条件 

摘      要：近十多年来,有许多学者对Borel-Cantelli引理产生了浓厚的兴趣,特别是在减弱Borel-Cantelli引理第二部分的条件方面,已经取得了一系列的较为完美的结果.下面我们简单介绍一下近期对Borel-Cantelli引理的研究概况.例如,Erdods和Renyi (1959)给出了随机事件{An，n≥1}只要两两相互独立条件下的Borel-Cantelli引理,从而减弱了相互独立的条件.Renyi(1965)给出了更一般的命题：如果(?),且满足条件lim sup(?)=1，那么P(?)=*** (1963)证明了这样的命题：如果(?),且满足sup(?)，那么P(?). Kochen和Stone (1964), Spitzer (1964)巧妙地结合上述两个结果,给出下面的命题：如果(?),则P(?)对Borel-Cantelli引理的第二部分在弱独立条件下的推广,我们可参见相关文Mori和Szekely(1983), Ortega和Wschebor(1983), Petrov (2002,2004), Yan (2006), Amghibech (2006)及Chandra (2008)等等.Xie(2008)得到了Borel-Cantelli引理的一个双边不等式,但我们发现其主要定理的证明和例子的证明过程都存在着若干问题.Hu等(2009)纠正了Xie(2008)在定理证明和例子中的错误之处,并给出了正确的证明过程.Xie(2009)又把Xie(2008)中的结果推广到了非负有界随机变量的情形,因此又进一步得到了非负有界随机变量的相应结果.另外,Feng等(2009)在Kochen和Stone (1964), Spitzer (1964)定理的基础之上又得到了这个定理在加权和情形下的相应的结果. 本篇论文主要是通过对Kochen和Stone(1964), Spitzer (1964)及Feng等(2009)的结果进行更进一步的研究,进而把上面的结果推广到定义在测度空间(S, BS,μ)上的可测集序列,并且给出了Kochen-Stone-Spitzer定理在测度空间(S,Bs,μ)上的加权和情形下的相应结果.首先我们给出了概率论的发展史和与Borel-Cantelli引理相关的背景知识.同时给出可测集和测度空间的定义等,还有在本篇论文中需要用到的若干不等式及相应的证明.接着,我们给出了Borel-Cantelli引理及其证明过程和相关推论,并对胡等(2009)指出Xie(2008)在定理证明和例子中的错误之处作了简单的说明.另外我们给出了一些与Borel-Cantelli引理有关的例题.最后,我们给出了Borel-Cantelli引理在测度空间(S, BS,μ)上的加权和情形下的相应结果.同时给出了两个相关的例子以及它们的详细证明过程.