三类非线性反应扩散系统的适定性研究
作者单位：哈尔滨工程大学
学位级别：硕士
导师姓名：徐润章
授予年度：2016年
学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学]
摘 要：本文分别利用位势井方法与比较原理及泛函分析理论,针对具非线性耦合的生态模型,在具孔介质上的双退化热扩散系统以及在加权锥流形上的反应扩散系统这三类系统的整体整体适定性进行了细致的研究,旨在揭示初值与方程的耦合性及空间的奇性和加权锥算子的关系对解的整体存在性与有限时间爆破的作用.第二部分针对一类描述双种群生物扩散现象的生态系统进行了全面研究.本部分首先通过构造系统的相关线性问题,及古典比较原理理论对于系统的局部适定性进行了研究.在此基础上进一步通过齐次椭圆算子狄利克雷问题的特征方程,对于问题进行降阶解耦并构造了系统解的逼近函数列,通过对逼近函数列取极限最终得出系统解的存在性.随后我们通过构造辅助函数并从古典比较分析方法出发证明了系统的有限时间爆破行为,本部分我们首次通过比较系统自身非线性扩散效应与源项非线性效应之间的关系,对定向扩散耦合生态系统问题进行了分析研究.第三部分就一类具孔介质上的双退化非线性热扩散系统在低初始能级状态下的整体解存在性与有限时间爆破进行了深入的研究.本章利用位势井理论和凹函数方法,给出了整体解存在与不存在的最佳条件.具体地说,本部分通过构造一系列近似解得到了在低能级情况下整体解的存在性,利用凹函数结合引入的辅助函数得到了负定能量下整体解的不存在性和低能级情况下解的有限时间爆破的初值条件.本部分首次针对具孔介质上的双退化非线性热扩散系统得到了解的存在性以及有限时间爆破行为,推广了原有双退化热扩散系统的研究成果.第四部分对于一类加权锥流形上的非线性抛物方程在低能级和临界能级下的整体解存在性与有限时间爆破进行了深入的研究.加权锥流形上作为一个新颖的拓扑流形,对于其上的各种泛函性质的研究一直受到学界的广泛关注.然而加权锥流形所具有的复杂的泛函空间特性以及特殊的范数定义形式,为系统的能量泛函及加权锥退化空间下的位势井结构的构建带来了麻烦.本章根据加权锥流形位的空间特性提出了适于问题研究的锥退化希尔伯特空间,并基于其特殊的泛函结构构造了加权锥流形上的势井理论,进而给出了整体解存在与不存在的最佳条件.同时通过放缩技术得到了在临界能级情况下整体解的存在性.本章首次对于加权锥流形上的非线性抛物方程进行细致的研究并给出了初值对于系统的作用.
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