两类非线性发展方程的Cauchy问题

作     者：达芳 

作者单位：郑州大学 

学位级别：硕士

导师姓名：陈国旺

授予年度：2005年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：具有阻尼项的非线性双曲型方程 Bq型方程 Cauchy问题 局部解 整体解 解的爆破 

摘      要：本文分五章:第一章为引言;第二章研究一类具有阻尼项的非线性双曲型方程的Cauchy问题的局部广义解和局部古典解的存在性和唯一性;第三章研究第二章所述问题的解的爆破,并举出一个实例;第四章研究Bq型方程的Cauchy问题的整体广义解和整体古典解的存在性和唯一性;第五章研究第四章所述问题的解的爆破,并举出一个实例.具体情况如下: 在第二章中,我们研究如下一类具有阻尼项的非线性双曲型方程的Cauchy问题 u+k▽u+k▽u+▽g(▽u)=0,(x,t)∈R×(0,T),(1) u(x,0)=u(x),u(x,0)=u(x),x∈R,(2)其中u(x,t)为未知函数,k和k为正常数,▽为梯度算子,▽=△为Laplace算子,▽=△为双调和算子,g(s)为给定的非线性函数,u(x)和u(x)为已知的初始函数,下标t表示对t求偏导数.为此我们先研究方程(1)的周期边界问题 u(x,t)=u(x+2D,x,x)=u(x,x+2D,x)=u(x,x,x+2D),(3) u(x,0)=u(x),u(x,0)=u(x).(4)在证明了问题(1),(3),(4)局部广义解和局部古典解的存在唯一性之后,利用周期边界问题取极限的方法,证明问题(1),(2)局部广义解和局部古典解的存在唯一性.主要结果如下: 定理1 设g∈C(R),|g(s)|≤K|s|,|g′(s)|≤K|s|等等,其中q≥2为自然数,K,K为正常数.若u∈H(Ω),u∈H(Ω),则周期边界问题(1),(3),(4)存在唯一局部广义解u(x,t).