求MDS码权多项式的组合方法

作     者：李岩 孙久兴 LI Yan;SUN Jiu-Xing

作者机构：中国农业大学理学院北京100083 

出 版 物：《四川大学学报（自然科学版）》 (Journal of Sichuan University(Natural Science Edition))

年 卷 期：2024年第61卷第2期

页      面：19-22页

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

基　　金：密码科学技术国家重点实验室开放课题(MMKFKT201910) 

主　　题：MDS码 权多项式 容斥原理 

摘      要：MDS码是一种满足Singleton界的好码.由于出色的编码能力,MDS码已得到广泛的应用.MDS码的权多项式由其参数[n,k,d]完全决定.本文利用容斥原理计算MDS码中不同Hamming权的码字个数,给出了MDS码权多项式的一个新证明.设d≤w≤n,从n个位置中任选d个构成集合S.本文证明:MDS码中支集为S且在S第一个位置为1的码字个数为∑^(w-d)_(j=0)(-1)^(j)(^(w-1)_(j))q^(w-d-j).证明的关键是对支集包含于S且在S第一个位置为1的码字集使用容斥原理,并利用MDS码校验阵中任意d-1列线性无关的性质.该证明直观揭示了MDS码权多项式中各项的组合意义.相较于教科书中的证明,本文的证明不使用Mac Williams恒等式.