检索结果-南通市图书馆

作者：王璐沈阳师范大学

学位级别：硕士

目前,非线性薛定谔方程的研究已经取得了许多成果,但利用达布变换和Hirota双线性方法求解高阶孤子方程依旧是热点问题。近年来,高阶非线性薛定谔方程深受关注,并且在非线性薛定谔方程中加入非局域性、PT-对称性、空间位移等条件,使非线... 详细信息

目前,非线性薛定谔方程的研究已经取得了许多成果,但利用达布变换和Hirota双线性方法求解高阶孤子方程依旧是热点问题。近年来,高阶非线性薛定谔方程深受关注,并且在非线性薛定谔方程中加入非局域性、PT-对称性、空间位移等条件,使非线性薛定谔方程的数学结构更加丰富,加入条件后的非线性薛定谔方程依旧满足可积性,很有研究价值。因此,我们将利用齐次平衡法、达布变换和Hirota双线性方法解决一些新型的非线性薛定谔方程的求解问题,本文主要做以下几方面的研究:第二章中,利用齐次平衡法研究时间分数阶KdV-mKdV方程。首先利用齐次平衡法求解组合KdV-mKdV方程,然后引入一致分数阶导数的定义,并结合齐次平衡法求解时间分数阶KdV-mKdV方程,得到五组新颖的精确解。第三章中,主要研究了两类连续的非线性薛定谔方程。第一类是利用达布变换研究了2+1-维非局域非线性薛定谔方程,该方程是1+1-维非局域非线性薛定谔方程的推广。首先根据给定的Lax对构造2+1-维非局域非线性薛定谔方程的达布变换,然后求解零背景下的N-孤子解的公式,进而得到2+1-维非局域非线性薛定谔方程的1-孤子解和2-孤子解。第二类是利用达布变换研究四分量耦合非线性薛定谔方程。依照已有的Lax对构造5×5谱问题,再通过达布变换,求出零背景下的1-孤子解和非零背景(q=e)下的1-孤子解,得到新一类的暗-亮-亮-亮孤子解,丰富了矢量孤子碰撞的研究。第四章中,主要是利用达布变换求解离散的PT-对称的非局域非线性薛定谔方程。首先根据已有的Lax对满足一定条件,找到变换矩阵T。然后利用达布变换获得离散的PT-对称的非局域非线性薛定谔方程的孤子解,分别得到在零背景和非零背景(Q(t)=e,R(t)=e)下的N-孤子解形式,进而得到1-孤子解和2-孤子解,其中非零背景下的孤子解是指数形式。第五章中,主要研究两类连续的非线性薛定谔方程。第一类是研究PT-对称的2+1-维非局域非线性薛定谔方程,首先利用广田直接方法探究了方程的双线性形式,其次利用双线性方法得到PT-对称的2+1-维非局域非线性薛定谔方程的1-孤子解和2-孤子解。然后尝试改变积分常数的取值和函数的取值方式,最终得到一种新的怪波解。第二类主要是研究高阶薛定谔方程的孤子解,在原有方程的基础上引入空间位移,得到3阶非局域非线性薛定谔方程,再通过双线性算子获得方程的双线性形式,最终获得方程的1-孤子解和2-孤子解。

关键词：非线性薛定谔方程齐次平衡法达布变换 Hirota双线性法孤子解

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非局域非线性波方程精确求解及其应用

非局域非线性波方程精确求解及其应用

作者：刘苡妍沈阳师范大学

学位级别：硕士

在大数据的时代背景下,随着人工智能的不断发展,越来越多的非线性效应逐渐被发现,非线性方程的求解一直是各个领域的热点问题。长期以来,达布变换法和Hirota双线性方法被普遍的应用于非线性方程的求解过程中,但是关于利用Hirota双线性... 详细信息

在大数据的时代背景下,随着人工智能的不断发展,越来越多的非线性效应逐渐被发现,非线性方程的求解一直是各个领域的热点问题。长期以来,达布变换法和Hirota双线性方法被普遍的应用于非线性方程的求解过程中,但是关于利用Hirota双线性方法和达布变换法求解非局域非线性耦合薛定谔方程及变系数三耦合薛定谔方程的研究却相对较少。针对这类问题,本文从以下方面进行研究:在第二章中,第一部分利用达布变换研究了非局域非线性Fokas-Lenell方程的精确解。首先,利用2×2Lax对,构建非局域非线性Fokas-Lenell方程的规范变换T,进而推导出新解与旧解之间的关系,依次选取零种子解和非零种子解然后利用达布变换求出Fokas-Lenell方程在零背景和非零背景条件下的1-孤子解,2-孤子解和N-孤子解的公式,最后得到了亮孤子,暗孤子,扭结孤子和反扭结孤子的演化图,以及两个孤子间碰撞所产生的相互作用。第二部分,运用达布变换研究了非局域非线性MKd V方程的精确解,得到它的1-孤子解,2-孤子解和N-孤子解表达式,利用Maple得到了周期波解,扭结解的演化图,并给出了反时空解的动力学行为和它们之间的相互作用,所得结果与经典MKd V方程不同。在第三章中,研究了带有3×3谱问题的非局域非线性耦合薛定谔（RS-NCNLS）方程。通过给定的3×3Lax对,可以建立出关于非局域非线性耦合薛定谔方程的达布变换,再通过N次达布变换分别得出非局域非线性耦合薛定谔方程在零背景和非零背景下的1-孤子解,2-孤子解和N-孤子解公式。利用Maple,通过选取相同参数和不同参数,展示了这些孤子解之间的碰撞和相互作用。在第四章中,第一部分利用双线性方法求解组合Kd V-MKd V方程,首先利用双线性算子将组合Kd V-MKd V方程转化为双线性方程,其次分别假设方程的解为双曲函数与三角函数的组合形式,指数函数与周期函数的组合形式,从而得到Kd V-MKd V方程的1-孤子解。第二部分研究了变系数三耦合薛定谔方程,首先利用相似变换给出变系数三耦合薛定谔方程与常系数三耦合薛定谔方程方程之间的关系,再利用双线性方法求出常系数方程的解,最后给出变系数方程解的表达式。通过Maple展示了抛物线形式的解和周期形式的解,以及孤子间的相互碰撞现象。

关键词：非局域非线性波方程 Hirota双线性方法达布变换孤子解

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达布变换在若干非局域离散孤子方程中的应用

达布变换在若干非局域离散孤子方程中的应用

作者：于佳铭沈阳师范大学

学位级别：硕士

作为非线性科学的一门不可缺少的内容——孤立子理论,给求解非线性偏微分方程及非线性科学的研究带来了创新。它的发展,为非线性方程研究注入了新兴的活力。对于非线性方程,构造其精确解有很多种方法,但是达布变换在非线性方法中占据举... 详细信息

作为非线性科学的一门不可缺少的内容——孤立子理论,给求解非线性偏微分方程及非线性科学的研究带来了创新。它的发展,为非线性方程研究注入了新兴的活力。对于非线性方程,构造其精确解有很多种方法,但是达布变换在非线性方法中占据举足轻重的地位。目前,关于非线性薛定谔方程的研究工作已经取得了巨大的成果。然而,对于高阶复杂的4×4离散耦合Ablowitz-Ladik方程以及PT对称的非局域耦合薛定谔方程所做的达布变换研究比较少。针对上述问题,本文研究的主要内容如下:第二章研究了PT对称的非局域耦合薛定谔方程。我们从3×3 Lax对出发,利用达布变换的方法,得到新解与旧解之间的关系。经过复杂的计算,得到一孤子解,二孤子解以及N孤子解计算公式。最后,利用画图软件,得到一些孤子图,其中包括亮孤子波解,呼吸波解,怪波。同时,显示了两孤子之间的弹性相互碰撞,它们的振幅在相互作用后,除了相移之外波形保持不变。第三章主要研究离散耦合Ablowitz-Ladik方程以及离散非局域耦合Schr?dinger方程。第一部分研究了复杂的4×4 Lax对的离散耦合Ablowitz-Ladik方程达布变换以及精确解。第二部分巧妙将离散非局域Schr?dinger方程扩张到离散非局域耦合Schr?dinger方程,即将2×2 Lax对扩展到3×3 Lax对。首先,利用离散零曲率方程得到Lax对相应方程。其次,构建变换矩阵T,利用达布变换,得到新Lax对与旧Lax对的关系。最后,经过复杂的计算,得到种子解为零以及种子解不为零的1-孤子解,2-孤子解及N-孤子解计算公式。利用Maple画图软件,画出其走势,其固定参数由作者预先设定,可以看到两孤子解的弹性碰撞,得到亮孤子解,呼吸子解及畸形波解。这些结论可以充分运用到某些电光学系统中的非线性波。

关键词：离散非局域方程薛定谔方程达布变换亮孤子解呼吸波解

达布变换和双线性方法在非局域非线性方程中的应用

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达布变换和双线性方法在非局域非线性方程中的应用

作者：段超男沈阳师范大学

学位级别：硕士

在很多自然现象中,非局域性是一种常见的现象。一些理论分析和数值模拟表明,非局域性能够消除波的坍塌,极大地改善暗孤子之间的相互作用。目前,利用达布变换和双线性方法已经得到了许多局域非线性方程的解,但利用达布变换和双线性方法... 详细信息

在很多自然现象中,非局域性是一种常见的现象。一些理论分析和数值模拟表明,非局域性能够消除波的坍塌,极大地改善暗孤子之间的相互作用。目前,利用达布变换和双线性方法已经得到了许多局域非线性方程的解,但利用达布变换和双线性方法去求解非局域方程的研究比较少。本文将针对这一问题做如下研究:在第二章中,我们主要用达布变换求解了具有自诱导PT对称的非局域非线性Schr?dinger方程。在Lax对之间的规范变换的辅助下导出了非局域非线性Schr?dinger方程的N重达布变换。最后得到了一些新的精确解,其中包括亮孤子波解、呼吸波解。特别地,在本章中给出了一孤子解、两孤子解、三孤子解的动态特性和两个孤子之间的弹性相互作用。最近,广义非局部非线性Hirota方程已经得到了广泛的关注,它可以看作非局域薛定谔方程的推广,并且可以归结为非局域Hirota方程。因此在本章中,我们还研究了一个广义非局域非线性Hirota方程以及它的N阶达布变换的行列式表示。然后我们给出了一些新的精确解,包括呼吸波孤子、亮孤子、以及孤立波的一些特性和相互作用。其次,1孤子解和2孤子解的动力学特征以及两个孤子解之间的弹性相互作用被显示出来。我们发现非局域方程与局域方程不同的情形,广义非局部非线性Hirota方程中的q(x,t)和q(-x,t)有一些孤立波的新特征,这是不同于经典的Hirota方程。在第三章中,首先我们探究了非局域复可积mKdV方程的双线性形式,通过使用双线性方法得到非局域复可积mKdV方程的一孤子解和二孤子解。再选取适当的参数,使用maple软件画出方程的精确解。其次,我们还探究了变系数的非局域可积薛定谔方程的双线性形式,求得它的一孤子解和二孤子解。具体地,我们经过一个非标准化的过程,成功地将具有任意时变线性势的广义非局域Gross-Pitaevskii(NGP)方程双线性化,给出了更一般的亮孤子解,它描述了准一维波色-爱因斯坦凝聚中孤子解的动力学。在一些合理的假设下,利用改进的Hirota方法对一个亮孤子解和两个亮孤子进行了解析构造。从规范等价性可以看出非局域变系数薛定谔方程解与局域变系数薛定谔方程解的区别。

关键词：非局域非线性Schr?dinger方程 Hirota方程双线性方法非局域可积mKdV方程达布变换

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若干复杂非线性孤子方程精确求解研究

若干复杂非线性孤子方程精确求解研究

作者：刘春萍沈阳师范大学

学位级别：硕士

非线性波在物理系统中无处不在,非线性方程也在物理的各个领域中扮演重要角色,探索非线性方程的精确解具有重要的意义。目前,随着孤立子理论的发展,越来越多的学者致力于求解非线性方程的精确解,但是利用Hirota双线性方法和达布变换求... 详细信息

非线性波在物理系统中无处不在,非线性方程也在物理的各个领域中扮演重要角色,探索非线性方程的精确解具有重要的意义。目前,随着孤立子理论的发展,越来越多的学者致力于求解非线性方程的精确解,但是利用Hirota双线性方法和达布变换求解非局域非线性薛定谔方程及耦合非局域变系数方程的研究较少。针对上述问题,本文将进行如下研究:第二章首先利用齐次平衡法和F-展开法求解了具有抛物线外势格罗斯-皮科夫斯基（GP）方程非自治波解。在相似变换的基础上,给出了几个具有蛇形行为和不同振幅的GP方程的非自治波解,获得的亮、暗孤子解在玻色-爱因斯坦凝聚中得到一些潜在的应用。其次研究了一个新的混合局域-非局域薛定谔方程,通过该方程的Hirota双线性化变换,得到了1-孤子解和2-孤子解。在得到精确解的基础上,给出了这些孤子的传播和相互作用结构。我们发现与局域或非局域情况不同的是,混合局域-非局域薛定谔方程的解有一些新的结果。最后研究了变系数耦合非线性薛定谔方程,得出1-孤子解、2-孤子解和N-孤子解。通过构造双线性形式,导出它的呼吸解和孤子解,并利用Maple画图软件绘制其图形,这些结果丰富了物理学中孤子传播的动力学行为。第三章利用达布变换求解了非线性Kundu-Eckhaus（KE）方程的精确解。首先由零曲率方程推导出该方程;再找出该方程2×2的Lax对,构造规范变换T,将初始值代入后得出矩阵T的递推公式。从而找到新解与旧解的关系,并以平凡解为种子解,利用迭代技术和行列式推导出KE方程的达布变换,得到1-孤子解,2-孤子解,3-孤子解和N-孤子解表达式,并利用Maple图展示出孤子间的相互作用。其次探究了4×4矩阵谱问题的三耦合薛定谔方程的达布变换及精确解。在Lax对之间的规范变换的基础上,构造了三耦合薛定谔方程的达布变换,并得到1-孤子解和2-孤子解。

关键词：非线性薛定谔方程齐次平衡法 Hirota双线性方法达布变换孤子解

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几类方程族的可积耦合系统与达布变换求解

几类方程族的可积耦合系统与达布变换求解

作者：冯硕沈阳师范大学

学位级别：硕士

本文我们主要研究三个方面的问题:第一个问题是利用扩展Lax对的方法如何来构建新的光谱矩阵的可积耦合系统,并使其产生有意义的非线性复合部分;第二个问题是当获得了新的可积耦合系统后,如何利用变分迹恒等式来求得相应的哈密尔顿结构;... 详细信息

本文我们主要研究三个方面的问题:第一个问题是利用扩展Lax对的方法如何来构建新的光谱矩阵的可积耦合系统,并使其产生有意义的非线性复合部分;第二个问题是当获得了新的可积耦合系统后,如何利用变分迹恒等式来求得相应的哈密尔顿结构;第三个问题是求解约化出来的可积耦合孤子方程.在第二章中,我们对连续的WKI、变系数AKNS孤子方程族进行了研究.利用扩展Lax的方法,我们分别获得了耦合的WKI孤子方程族与含有变系数的耦合AKNS孤子方程族.我们首先考虑了WKI孤子方程族,通过构建特殊的光谱矩阵和来产生非线性复合部分,从而获得了比已有形式更好的新的扩展WKI可积耦合孤子方程族.然后我们考虑了常系数AKNS孤子方程族和变系数AKNS孤子方程族.通过扩展Lax对的方法,我们分别获得了它们的可积耦合系统.从这种可积耦合系统中约化出来的并含有特殊变系数的可积耦合方程给予了AKNS孤子方程族更深远的意义.最后我们利用变分迹恒等式获得了WKI孤子方程族与变系数AKNS孤子方程族的相应哈密尔顿结构.在第三章中,我们对Toda晶格孤子方程族与新的离散孤子方程族的的可积耦合系统进行了构造,并通过达布变换的方法求得了相应的可积耦合方程的孤子解.我们首先考虑了Toda晶格孤子方程族,利用Lax对U,V∈sl(8),我们获得了一个新的离散超可积耦合系统.然后通过变分迹恒等式,我们求得了这个可积耦合孤子方程族的哈密尔顿结构.最后我们提出了利用达布变换的方法来求解一些离散的可积耦合方程.针对于两组新的离散Lax对及其相应的离散可积耦合孤子方程,我们构建了两种不同的达布变换应用到这两组孤子方程中,最终获得了这两组离散可积耦合方程的孤子解.

关键词：可积耦合系统哈密尔顿结构达布变换孤子解

达布变换和双线性方法求解耦合非局域薛定谔方程

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达布变换和双线性方法求解耦合非局域薛定谔方程

作者：范蕊沈阳师范大学

学位级别：硕士

迄今为止,应用达布变换求解孤子方程仍然是孤子理论中研究的热点问题。由于达布变换比较复杂,多数学者仅研究了2×2 Lax对的变换。近年来,非局域耦合薛定谔方程的研究成果较少。因此,我们将尝试利用更高阶Lax对的达布变换解决非局域耦... 详细信息

迄今为止,应用达布变换求解孤子方程仍然是孤子理论中研究的热点问题。由于达布变换比较复杂,多数学者仅研究了2×2 Lax对的变换。近年来,非局域耦合薛定谔方程的研究成果较少。因此,我们将尝试利用更高阶Lax对的达布变换解决非局域耦合薛定谔方程的求解问题。双线性方法也常被用来求解局域孤子方程,此方法能简化部分计算过程,使得求孤子解更加容易。然而应用双线性方法求解耦合非局域薛定谔方程的研究工作较少。针对这些问题,本文从以下方面进行研究:在第二章中,研究了具有3×3谱问题的耦合非局域非线性薛定谔方程的达布变换。开始利用一个特殊的Lax对,来构造耦合非局域非线性薛定谔(CNNLS)方程的达布变换。然后,我们通过N次达布变换得到耦合非局域非线性薛定谔方程的孤子解和N阶孤子解公式。基于所获得的解,我们研究了这些多孤子解的传播和相互作用结构。研究结果表明,1-孤子解展示了一个暗孤子和一个亮孤子的演化结构。2-孤子解展示了两个暗孤子和两个亮孤子之间的弹性相互作用。所得结果与局域非线性方程的解不同,并且通过操纵一些多孤子波,也可以产生不同的传播现象。在第三章中,我们通过达布变换研究了带有3×3谱问题的局域-非局域混合的耦合薛定谔方程。由给定的Lax对构造了局域-非局域混合的耦合薛定谔方程的达布变换,我们通过N次达布变换得到局域-非局域混合的耦合薛定谔方程的1-孤子解,2-孤子解及N-孤子解公式。基于所得的解,显示出了这些多孤子解的传播和相互作用。1-孤子阶展示了单孤子的演化结构;2-孤子解展示了双呼吸孤子解之间弹性相互作用。与此同时,我们发现这与局域耦合薛定谔方程和非局域耦合薛定谔方程情况不同,局域-非局域混合的耦合薛定谔方程有一些新的结果。在第四章中,采用双线性方法求解耦合的非局域非线性薛定谔方程。首先从非线性方程出发,应用相关变量的变换,通过引入双线性算子,将原来非线性方程转化为双线性方程;然后构造成偏微分方程组并对其求解;最后得到了耦合非局域非线性薛定谔方程的1-孤子解和2-孤子解,并应用Maple软件,得到精确解。本文的结果可能有助于理解等离子体中描述的一些物理现象。

关键词：耦合非局域薛定谔方程达布变换 Hirota双线性方法孤子解

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若干方程族的可积系统与达布变换

若干方程族的可积系统与达布变换

作者：冯莉莉沈阳师范大学

学位级别：硕士

可积耦合系统是现代非线性学科的一个热门研究内容,利用它能推导出许多有实际研究价值的非线性演化方程。目前学者们从反对称矩阵李代数的角度出发,基本都是围绕着22?矩阵谱问题进行研究,而对44?矩阵谱问题的研究工作讨论的还比较少。... 详细信息

可积耦合系统是现代非线性学科的一个热门研究内容,利用它能推导出许多有实际研究价值的非线性演化方程。目前学者们从反对称矩阵李代数的角度出发,基本都是围绕着22?矩阵谱问题进行研究,而对44?矩阵谱问题的研究工作讨论的还比较少。达布变换是求解非线性孤子方程的一种常用工具,学者们基本都是围绕着一般的方程族进行研究,而对复杂的33?薛定谔方程,超可积方程的达布工作讨论的还比较少。针对上述的问题,本文主要的研究内容如下:在第二章中,巧妙利用6个基元获得新的loop代数,将22?AKNS方程族的Lax对扩张成44?AKNS方程族的Lax对,进而获得其可积耦合系统。首先,构建一个44?的反对称李代数。然后,利用伴随零曲率方程获得递推算子L,选定合适的初始值带入递推方程中,得到一个新的可积耦合方程族和广义的AKNS方程。最后,应用迹恒等式和屠格式,成功地建立了扩张的AKNS方程族的Hamiltonian结构。目前学者们从反对称矩阵李代数的角度出发,基本都是围绕着1+1维可积系统进行研究,而对2+1维可积系统的研究工作讨论的还比较少。我们针对一个2+1维AKNS方程的等谱问题,利用伴随零曲率方程获得相应的递推方程,选定恰当的初始值,应用屠格式,得到一个新的2+1维AKNS方程族。在第三章中,首要先探索复杂的33?矩阵谱问题的达布变换及求解,将从33?矩阵的谱问题着手,构建耦合非线性薛定谔方程的达布变换。接着主要围绕着超可积方程的Lax对,以超AKNS方程,超Dirac方程的等谱问题为例,构建两个超可积方程的达布变换。最后利用maple软件,选取合适的参数,画出多组孤子解,这种方法可以被广泛的应用到其他的超可积方程中。

关键词：可积耦合系统哈密尔顿结构李代数达布变换

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若干非线性方程的求解研究

若干非线性方程的求解研究

作者：赵艳宇沈阳师范大学

学位级别：硕士

本文介绍了孤立子理论的发展过程,利用齐次平衡法和双线性方法来研究孤立子理论中几个重要的孤子方程的求解问题以及在实际当中的应用。本文还介绍了相似变换和双线性方法结合来求解变系数KdV方程。主要的工作如下:第一章主要介绍了孤... 详细信息

本文介绍了孤立子理论的发展过程,利用齐次平衡法和双线性方法来研究孤立子理论中几个重要的孤子方程的求解问题以及在实际当中的应用。本文还介绍了相似变换和双线性方法结合来求解变系数KdV方程。主要的工作如下:第一章主要介绍了孤立子理论研究的历史发展以及在当时某个阶段所得到的研究成果。在该章具体的还介绍了一些关于这些学科的国内外学者在这方面所取得的成果。而且还介绍了孤立子求解方法的发展和孤立子在流体力学,等离子物理,光学,量子论等领域的应用。第二章介绍了在齐次平衡原则的基础上,我们利用学习到的齐次平衡法,来求解几个特殊的方程。包括MKdV方程、Huxley方程、Burgers方程、Chaffee-Infante方程。这些方程的解对于解释一些物理现象具有一定的实际意义。第三章主要分为两个方面来介绍双线性方法。首先介绍双线性方法求解原理及其双线性算子的一些性质,本章利用了双线性方法(Hirota方法)来求解常系数微分方程,具体的求出了方程的单孤子解和双孤子解。其次将相似变换和Hirota方法应用到了变系数的KdV方程中,我们得到了变系数KdV方程的单孤子解。

关键词：孤立子齐次平衡法双线性方法精确解 KdV方程